La bouteille de Klein

Dans une boutique de station-service d'autoroute j'ai trouvé à prix très modeste cette reproduction d'une bouteille de Klein. Je rappelle qu'il s'agit d'une surface euclidienne fermée sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle il n'est pas possible de définir un intérieur et un extérieur (comme le ruban de Moebius, mais en plus compliqué). Elle a été décrite pour la première dois en 1882 par le mathématicien allemand Felix Klein. De fait elle n'est pas représentable convenablement dans l'espace tridimensionnel usuel, à moins que l'on accepte qu'elle se traverse elle-même, ce qui est le cas dans cette reproduction en verre.
Comme je le raconte dans mon livre de 2001 sur la topologie cosmique, "L'univers chiffonné", il existe des généralisations tridimensionnelles de la bouteille de Klein, à savoir des hypertores non orientables appartenant à la famille des espaces euclidiens multiconnexes. Felix Klein fut d'ailleurs l'un des premiers à signaler à Albert Einstein, en 1919, que rien n'interdisait à priori que l'espace physique ait une telle structure, la théorie de la relativité générale ne spécifiant pas la topologie globale de l'univers. J'ai travaillé durant vingt ans sur la question, avant de passer à la gravitation quantique!
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In a freeway service station store I found this reproduction of a Klein bottle at a very modest price. I remind you that it is a closed Euclidean surface without edge and not orientable, i.e. a surface for which it is not possible to define an interior and an exterior (like the Moebius strip, but more complicated). It was first described in 1882 by the German mathematician Felix Klein. In fact it cannot be represented properly in the usual three-dimensional space, unless one accepts that it passes through itself, which is the case in this glass reproduction.

As I describe in my book on cosmic topology, "The Wraparound Universe", there are three-dimensional generalizations of the Klein bottle, namely non-orientable hypertores belonging to the family of Euclidean multiconnected spaces. Felix Klein was one of the first to point out to Albert Einstein, in 1919, that there was no reason why physical space should not have such a structure, as the theory of general relativity does not specify the global topology of the universe. I worked for twenty years on this question, before moving on to quantum gravitation!

Voir le nœud de Möbiushttps://www.maths-et-tiques.fr

En topologie, le ruban de Möbius (aussi appelé bande de Möbius ou boucle de Möbius) est une surface compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle. Autrement dit, il ne possède qu'une seule face contrairement à un ruban classique qui en possède deux. La surface a la particularité d'être réglée et non orientable. Elle a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et Johann Benedict Listing (1808-1882). Le nom du premier fut retenu grâce à un mémoire présenté à l'Académie des sciences à Paris. On trouve également les dénominations de « bande », « anneau » ou « ceinture » de Möbius, et on écrit parfois « Mœbius » ou « Moebius ».

Il est facile de visualiser la bande de Möbius dans l'espace : un modèle simple se réalise en faisant subir une torsion d'un demi-tour à une longue bande de papier, puis en collant les deux extrémités, créant un ruban sans fin n'ayant ni intérieur ni extérieur.

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